Más szavakkal, ha, akkor a sorozat nem tart nullához. Ha nem nullsorozat, akkor választható úgy, hogy minden esetén. Az feltétel mellett szorozva -vel adódik, hogy:, damit:., mivel az egyenlőtlenség iránya miatt megmarad. Választunk egy valós számot, hogy. Így (2)-vel teljesül, hogy minden esetén:, q. e. d. AlkalmazásokSzerkesztés A mértani sorozat növekedési folyamatot ír le, melynek során egy mennyiség minden lépésben ugyanannyiszorosára nő. Példák: Kamatos kamatSzerkesztés Legyen a kamatos kamat kamata 5%! Ez azt jelenti, hogy a tőke minden évben 1, 05-szeresére nő. Ez a növekedési tényező. A tőke minden évben -szeresére nő. Ha a kezdőtőke 1000 euró, akkor az első év után a tőke a második év után a harmadik év után és így tovább. Temperált hangolásSzerkesztés A hangszerek különbözőképpen hangolhatók, illetve különböző hangolással készíthetők. Ezek egyike a temperált hangolás. Ez arról nevezetes, hogy hangközei egyenletesek, azaz minden hangközlépés (kis szekund) a hang frekvenciáját ugyanannyiszorosára változtatja.
Mértani sorozatnak nevezzük az olyan sorozatokat, amelyekben (a másodiktól kezdve) bármelyik tag és az azt megelőző tag hányadosa állandó. Ezt a hányadost idegen szóval kvóciensnek nevezzük. Jele: q. Példák mértani sorozatokra: (a1=3, q=3) 3, 9, 27, 81, … (a1=1, q=2) 1, 2, 4, 8, 16, 32, … (a1=7, q=10) 7, 70, 700, 7000, … A mértani sorozat n-edik tagjaSzerkesztés Legyen a sorozat n-edik tagja an. Ekkor: vagy ahol Ez utóbbi azt is jelenti, hogy a mértani sorozat n-edik tagja az n+i-edik és az n-i-edik tagjának a mértani közepe. Ezt gyakran a mértani sorozat definíciójának is tekinti, a két képlet ugyanis következik egymásból: és innen indukcióval következik az első képlet. Hasonlóan A mértani sorozat első n tagjának összegeSzerkesztés A mértani sorozat összegképletének megtalálásához a sorozatban jelenlévő önhasonlóságot tudjuk kihasználni. [1] Nézzük a sorozatot és q-szorosát. Ha kivonjuk az eredeti összegből a q-szorosát, a következőt kapjuk: Az első elemet - mivel minden tagban megjelenik szorzótényezőként - elég csak a végén figyelembe venni, így A kapott képlet viszont csak esetén értelmes.
↑ Egyiptomi űrmértékegység, pontos átváltása mai SI egységekre nem ismert, és tudjuk, hogy a történelem során értéke változott is; egyes források szerint 1 hekat búza kb. 4, 7 liter körül lehetett [1]. ↑ Sulinet: Az ókori Egyiptom matematikája Archiválva 2010. január 21-i dátummal a Wayback Machine-ben ↑ Klukovits Lajos: Az európai matematika kezdetei[halott link] (jegyzetvázlat), hivatkozás beillesztése: 2009. augusztus 18. ; az idézett vers hozzávetőleges fordítása: "Épp Szentiván felé mentem, s szembe / Egy ember jött, hét asszony követte. / Minden asszony hét zsákot vitt vállán / Mindben hét tyúk egymás hegyén-hátán. / Minden tyúknak volt hét kiscsibéje, / Csibe, tyúk, zsák, asszony - megmondod-e nékem; / Hány ment Szentivánba amaz úton, régen? " Matematikaportál • összefoglaló, színes tartalomajánló lap
Mivel: (lásd: számtani sorozat), a mértani sorozat első n tagjának szorzata: A mértani sorozat konvergenciájaSzerkesztés Állítás: Ha végtelen mértani sorozat, akkor akkor és csak akkor tart nullához, ha hányadosának abszolútértéke egynél kisebb. Bizonyítás: A bizonyítást két irányból végezzük el. Egyszer belátjuk, hogy a sorozat konvergens, és határértéke nulla, ha a hányados abszolútértéke egynél kisebb. Másodszor belátjuk, hogy a sorozat nem tart nullához, ha a hányados abszolútértéke nem egynél kisebb. 1. A sorozat konvergens, és határértéke nulla, ha a hányados abszolútértéke egynél kisebb. Adva legyen egy valós szám. Ehhez keresünk egy indexet, hogy minden esetén. Mivel, és, létezik a természetes logaritmus. Amiatt, hogy, megfordul az összes egyenlőtlenség, ha szorzunk -val:;Az indexekre; az egyenlőtlenség iránya megmarad, ha az számot ezekre a kitevőkre emeljük:;Az egyenlőtlenség miatt az egyenlőtlenség iránya megmarad, ha szorzunk az nevezővel:; így (1), q. e. d. 2. A sorozat határértéke nem lehet nulla, ha a hányados abszolútértéke nem egynél kisebb.
Adja meg mindhárom eredeti mértani sorozat első három tagját! (ESZÉV 2011. 05/5) Az A1C0C1 derékszögű háromszögben az A1 csúcsnál 30°-os szög van, az A1C0 befogó hossza 1, az A1C1 átfogó felezőpontja A2. Az A2C2 szakasz "fölé" az A1C0C1 háromszöghöz hasonló A2C1C2 derékszögű háromszöget rajzolunk az ábra szerint. Az A2C2 átfogó felezőpontja A3. Az A3C2 szakasz "fölé" az A2C1C2 háromszöghöz hasonló A3C2C3 derékszögű háromszöget rajzolunk. Ez az eljárás tovább folytatható. a) Számítsa ki az így nyerhető végtelen sok derékszögű háromszög területének összegét (az összeg első tagja az A1C0C1 háromszög területe)! b) Igazolja, hogy a C0C1C2.. töröttvonal hossza minden n N+-ra kisebb, mint 1, 4! (ESZÉV-NY 2011. 05/5) Vizsgáljuk azt a sorozatot, amelynek n-edik tagja adott R esetén an n sinn . a) Legyen . Írja fel a sorozat első három tagjának pontos értékét! 3 b) Milyen 0; 2 esetén lesznek az a1, a2, a3 számok ebben a sorrendben egy konstans sorozattól különböző számtani sorozat szomszédos tagjai?
2. A feati allt sok wözött vannak olyanok, amelyek ugyanazt jelentik, vagy- lo értéktáblázatuk megegyezik, Dörtalk... Sorozatok határértéke Monotonitás: A sorozat első három tagja alapján az a sejtésünk alakulhat ki, hogy... vesznek fel, ezért a sorozat nem monoton növekedő és nem monoton csök-. FÜGGVÉNYEK, SOROZATOK Lineáris fgv. monotonitás, zérushely. 9. o. Abszolútérték fgv. szélsőérték, párosság. 9-10. Másodfokú fgv. Lineáris törtfgv. szakadás, páratlanság. o. Sorozatok - gömb térfogata: V = 4. R3. gömb felszíne: A = 4 R2. FELADATOK. 19. A megközelítőleg gömb alakú Föld közepes sugara RFöld = 6371 km. Mekkora a Föld. Rekurzív sorozatok - Elte Eötvös Loránd Tudományegyetem Budapest, 2015.... A rekurzív sorozatok felhasználása nagyon sok új és eddig kiaknázatlan le- het˝oséget rejt magában. Sorozatok - Studium Generale unokájának írt levél következik, akkor mennyi annak a valószínűsége, hogy lányunokája levelét az ötödik héten írta meg? (3 pont). Szabó nagymama sálat kötött... Sorozatok és mértani sorozat, tulajdonságaik.... A képességfejlesztés fókuszai Számolás kompetencia: sorozat tagjainak kiszámítása.
4d"! k meg a mértani sorozat $árom egymást követő tag"át és a számtani sorozat k0lönbségét- 1. ) *gy számtani sorozat $árom egymást követő tag"á$oz rendre /)ot# 7)et és 12)t adva egy olyan mértani sorozat $árom egymást követő tag"át kap"! k# melyek szorzata 1 82'., atározz! k meg e sorozat $ányadosát-
Kell A Férfi Könyv, 2024